Тригонометрические уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «тригонометрические уравнения» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 40 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 15 задач
ЕГЭ профиль, задание 13: Уравнения — 15 задач
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 10 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: средняя

Найдите наименьший положительный корень уравнения $\sin\dfrac{\pi x}{12} = \frac{1}{2}$ .

Подсказки

Сделайте замену $t = \dfrac{\pi x}{12}$ и решите $\sin t = \frac{1}{2}$ .
Наименьшее положительное $t$ с $\sin t = \frac{1}{2}$ — это $\dfrac{\pi}{6}$ (проверьте по единичной окружности).
Из $\dfrac{\pi x}{12} = \dfrac{\pi}{6}$ выразите $x$ .

Решение

Наименьший положительный угол с $\sin t = \frac{1}{2}$ равен $\dfrac{\pi}{6}$ . Значит, $\dfrac{x}{12} = \dfrac{1}{6}$ и $x = 2$ . Ответ: 2.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

Найдите наименьший положительный корень уравнения $\sin\dfrac{\pi x}{8} = -1$ .

Подсказки

Сначала решите простейшее уравнение $\sin t = -1$ , где $t = \dfrac{\pi x}{8}$ , и запишите все решения.
Решения: $t = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\,n$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Подставьте $t = \dfrac{\pi x}{8}$ и выразите $x$ .
Подбирая целое $n$ , найдите наименьшее положительное значение $x$ .

Решение

$\dfrac{\pi x}{8} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\,n$ , откуда $x = -4 + 16n$ , $n \in \mathbb{Z}$ (при $n = 0$ получаем $-4$ , шаг серии $16$ ). Наименьший положительный корень равен $12$ . Ответ: 12.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

Найдите наименьший положительный корень уравнения $\cos\dfrac{\pi x}{3} = \frac{1}{2}$ .

Подсказки

Сделайте замену $t = \dfrac{\pi x}{3}$ и решите $\cos t = \frac{1}{2}$ .
Наименьшее положительное $t$ с $\cos t = \frac{1}{2}$ — это $\dfrac{\pi}{3}$ (проверьте по единичной окружности).
Из $\dfrac{\pi x}{3} = \dfrac{\pi}{3}$ выразите $x$ .

Решение

Наименьший положительный угол с $\cos t = \frac{1}{2}$ равен $\dfrac{\pi}{3}$ . Значит, $\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{3}$ и $x = 1$ . Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

Найдите наименьший положительный корень уравнения $\sin\dfrac{\pi(x - 1)}{4} = 1$ .

Подсказки

Сначала решите простейшее уравнение $\sin t = 1$ , где $t = \dfrac{\pi(x - 1)}{4}$ , и запишите все решения.
Решения: $t = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\,n$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Подставьте $t = \dfrac{\pi(x - 1)}{4}$ и выразите $x$ .
Подбирая целое $n$ , найдите наименьшее положительное значение $x$ .

Решение

$\dfrac{\pi(x - 1)}{4} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\,n$ , откуда $x = 3 + 8n$ , $n \in \mathbb{Z}$ (при $n = 0$ получаем $3$ , шаг серии $8$ ). Наименьший положительный корень равен $3$ . Ответ: 3.

Решить в Telegram