Прогрессии: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «прогрессии» встречается в 6 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 144 задачи по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 10: Текстовая задача — 14 задач
ЕГЭ профиль, задание 16: Финансовая задача — 1 задача
ЕГЭ профиль, задание 19: Числа и их свойства — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 20: Текстовая задача — 9 задач
ЕГЭ база, задание 21: Задача на смекалку — 7 задач
ОГЭ, задание 14: Прогрессии — 110 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

При строительстве стены $13$ рядов. В первом ряду $29$ кирпичей, а в каждом следующем на $1$ больше, чем в предыдущем. Сколько кирпичей в последнем ряду?

Подсказки

Количество в рядах образует арифметическую прогрессию с разностью $d$ .
Формула $n$ -го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$ .
Подставьте $a_1 = 29$ , $d = 1$ , $n = 13$ .

Решение

$a_{13} = 29 + 1 \cdot 12 = 41$ . Ответ: 41.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 8 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 32 метра.

Подсказки

Расстояния по дням образуют арифметическую прогрессию.
Сумма $n$ членов прогрессии: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .
$32 = \dfrac{8}{2} \cdot n$ . Найдите $n$ .

Решение

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ : $32 = \dfrac{8}{2} \cdot n$ , $n = \dfrac{2 \cdot 32}{8} = 8$ . Ответ: 8.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день $9$ капель, а в каждый следующий день — на $3$ капли больше, чем в предыдущий. Приняв $27$ капель, он ещё $3$ дня пьёт по $27$ капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на $3$ капли, пока в последний день не примет $9$ капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс, если в каждом пузырьке $150$ капель?

Подсказки

Разбейте курс на три части: рост дозы, приём по максимальной дозе, снижение дозы.
Рост: $9, 12, \ldots, 27$ — первый день с дозой $27$ тоже входит в «приём по 27». Снижение — те же числа без $27$ в обратном порядке.
Суммы роста и снижения равны (по $99$ капель без дней с дозой $27$ ). Сложите всё и разделите на $150$ с округлением вверх.

Решение

Дозы до максимума: $9, 12, \ldots, 24$ — это $6$ дней, сумма $99$ капель; столько же при снижении. По $27$ капель пациент пьёт $4$ дня: $108$ капель. Всего $2 \cdot 99 + 108 = 306$ капель. $2 \cdot 150 = 300 < 306$ , поэтому нужно $3$ пузырька. Ответ: 3.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

В первом ряду кинозала $25$ мест, а в каждом следующем ряду на $1$ место больше, чем в предыдущем. Сколько мест в зале, если в нём $7$ рядов?

Подсказки

Числа мест в рядах образуют арифметическую прогрессию.
В последнем ряду $25 + 6 \cdot 1 = 31$ место.
Сумма арифметической прогрессии: полусумма первого и последнего членов, умноженная на число членов.

Решение

В последнем ряду $31$ место. Всего $\dfrac{25 + 31}{2} \cdot 7 = 196$ мест. Ответ: 196.

Решить в Telegram