Логарифмические уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «логарифмические уравнения» встречается в 5 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 47 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 25 задач
ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 13: Уравнения — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 15 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\log_{5}(2x + 3) = 1$ .

Подсказки

По определению логарифма $\log_a t = n$ означает $t = a^n$ .
Перейдите к уравнению $2x + 3 = 5^{1}$ и вычислите степень.
$2x + 3 = 5$ . Осталось выразить $x$ и проверить, что выражение под логарифмом положительно.

Решение

По определению логарифма $2x + 3 = 5^{1} = 5$ , откуда $2x = 2$ , $x = 1$ . Проверка: $2x + 3$ при $x = 1$ равно $5 > 0$ . Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $\log_{7}(x - 8) = 2\log_{7} 3$ .

Подсказки

Внесите множитель $2$ под знак логарифма как показатель степени.
$2\log_{7} 3 = \log_{7} 9$ .
Приравняйте выражения под знаками логарифмов: $x - 8 = 9$ .

Решение

$2\log_{7} 3 = \log_{7} 9$ , значит, $x - 8 = 9$ и $x = 17$ . Проверка: $x - 8 = 9 > 0$ . Ответ: 17.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображён график функции $f(x) = \log_a x + b$ . Найдите значение $x$ , при котором $f(x) = 3$ .

Подсказки

Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1, — найдите по графику эту точку.
Отмеченные точки: $(1;\ -2)$ , $(2;\ -1)$ , $(4;\ 0)$ . По ним найдите основание и свободное слагаемое.
$f(x) = \log_{2}(x) - 2$ . Решите уравнение $\log_{2}(x) - 2 = 3$ по определению логарифма.

Решение

По рисунку $f(x) = \log_{2}(x) - 2$ . Уравнение $\log_{2}(x) - 2 = 3$ даёт $\log_{2}(x) = 5$ , откуда $x = \left(2\right)^{5} = 32$ и $x = 32$ . Ответ: 32.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\log_{3}(x + 7) = 4$ .

Подсказки

По определению логарифма $\log_a t = n$ означает $t = a^n$ .
Перейдите к уравнению $x + 7 = 3^{4}$ и вычислите степень.
$x + 7 = 81$ . Осталось выразить $x$ и проверить, что выражение под логарифмом положительно.

Решение

По определению логарифма $x + 7 = 3^{4} = 81$ , откуда $x = 74$ . Проверка: $x + 7$ при $x = 74$ равно $81 > 0$ . Ответ: 74.

Решить в Telegram