Решать в Telegram

Линейная функция: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «линейная функция» встречается в 4 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ОГЭ). В банке «Корень» — 96 задач по этой теме.

Где встречается

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции f(x)=kx+bf(x) = kx + b. Найдите f(−17)f(-17).

Подсказки
  1. Найдите по рисунку две точки графика с целыми координатами и подставьте их в f(x)=kx+bf(x) = kx + b.
  2. Точки (−3; −2)(-3;\ -2) и (1; −3)(1;\ -3) дают систему: −2=−3k+b-2 = -3k + b, −3=1k+b-3 = 1k + b.
  3. k=−0,25k = -0{,}25, b=−2,75b = -2{,}75. Подставьте x=−17x = -17.
Решение

Прямая проходит через точки (−3; −2)(-3;\ -2) и (1; −3)(1;\ -3): k=−3−(−2)1−(−3)=−0,25k = \dfrac{-3 - (-2)}{1 - (-3)} = -0{,}25, b=−2−(−0,25)⋅(−3)=−2,75b = -2 - (-0{,}25) \cdot (-3) = -2{,}75, то есть f(x)=−x4−114f(x) = -\dfrac{x}{4} - \dfrac{11}{4}. Тогда f(−17)=(−0,25)⋅(−17)−2,75=1,5f(-17) = (-0{,}25) \cdot (-17) - 2{,}75 = 1{,}5. Ответ: 1,5.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции f(x)=kx+bf(x) = kx + b. Найдите значение xx, при котором f(x)=39f(x) = 39.

Подсказки
  1. Найдите по рисунку две точки графика с целыми координатами и определите kk и bb.
  2. Через точки (−1; 0)(-1;\ 0) и (3; −1)(3;\ -1): k=−0,25k = -0{,}25.
  3. f(x)=−x4−14f(x) = -\dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4}. Решите уравнение −x4−14=39-\dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} = 39.
Решение

Прямая проходит через точки (−1; 0)(-1;\ 0) и (3; −1)(3;\ -1): k=−1−03−(−1)=−0,25k = \dfrac{-1 - 0}{3 - (-1)} = -0{,}25, b=0−(−0,25)⋅(−1)=−0,25b = 0 - (-0{,}25) \cdot (-1) = -0{,}25, то есть f(x)=−x4−14f(x) = -\dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4}. Уравнение −x4−14=39-\dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} = 39 даёт x=−157x = -157. Ответ: −157.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображены графики функций f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c и g(x)=kx+mg(x) = kx + m, которые пересекаются в точках AA и BB. Найдите абсциссу точки BB.

Подсказки
  1. Найдите по рисунку коэффициенты обеих функций: у параболы видна вершина, у прямой — две точки с целыми координатами.
  2. Парабола: вершина (1; −4)(1;\ -4), a=1a = 1. Прямая проходит через A(2; −3)A(2;\ -3) и (0; 3)(0;\ 3).
  3. f(x)=x2−2x−3f(x) = x^{2} - 2x - 3, g(x)=−3x+3g(x) = -3x + 3. Решите f(x)=g(x)f(x) = g(x); один корень — абсцисса точки AA, x=2x = 2.
Решение

По рисунку f(x)=(x−1)2−4=x2−2x−3f(x) = (x - 1)^2 - 4 = x^{2} - 2x - 3, а g(x)=−3x+3g(x) = -3x + 3 (прямая через (2; −3)(2;\ -3) и (0; 3)(0;\ 3)). Уравнение f(x)=g(x)f(x) = g(x): x2+x−6=0x^{2} + x - 6 = 0. Один корень x=2x = 2 (точка AA), по теореме Виета второй x=−3x = -3. Ответ: −3.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции f(x)=kx+bf(x) = kx + b. Найдите f(−8)f(-8).

Подсказки
  1. Найдите по рисунку две точки графика с целыми координатами и подставьте их в f(x)=kx+bf(x) = kx + b.
  2. Точки (−1; −2)(-1;\ -2) и (1; −1)(1;\ -1) дают систему: −2=−1k+b-2 = -1k + b, −1=1k+b-1 = 1k + b.
  3. k=0,5k = 0{,}5, b=−1,5b = -1{,}5. Подставьте x=−8x = -8.
Решение

Прямая проходит через точки (−1; −2)(-1;\ -2) и (1; −1)(1;\ -1): k=−1−(−2)1−(−1)=0,5k = \dfrac{-1 - (-2)}{1 - (-1)} = 0{,}5, b=−2−0,5⋅(−1)=−1,5b = -2 - 0{,}5 \cdot (-1) = -1{,}5, то есть f(x)=x2−32f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{2}. Тогда f(−8)=0,5⋅(−8)−1,5=−5,5f(-8) = 0{,}5 \cdot (-8) - 1{,}5 = -5{,}5. Ответ: −5,5.

Решить в Telegram