Линейные уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «линейные уравнения» встречается в 5 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 55 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 5: Сложные события — 6 задач
ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 6 задач
ЕГЭ база, задание 21: Задача на смекалку — 7 задач
ОГЭ, задание 9: Уравнения — 34 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $8(x - 1) = -8$ .

Подсказки

Можно разделить обе части на множитель перед скобкой.
Получится $x - 1 = -1$ .
Перенесите число из левой части в правую с противоположным знаком.

Решение

$x - 1 = -8 : 8 = -1$ , поэтому $x = -1 + 1 = 0$ . Ответ: 0.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $(x - 5)^2 = (x + 1)^2$ .

Подсказки

Раскройте скобки по формулам квадрата суммы и разности — слагаемые $x^2$ сократятся.
Получится линейное уравнение: $-10x + 25 = 2x + 1$ .
Соберите слагаемые с $x$ : $-12x = -24$ .

Решение

$x^2 + -10x + 25 = x^2 + 2x + 1$ , $-12x = -24$ , $x = 2$ . Ответ: 2.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

за $3$ золотые монеты получить $3$ серебряные и одну медную;
за $4$ серебряные монеты получить $3$ золотые монеты и одну медную.

У Маши были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у неё стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $52$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет?

Подсказки

Пусть первую операцию сделали $x$ раз, вторую — $y$ раз. Каждая операция даёт одну медную монету.
Медных: $x + y = 52$ . Золото: получено $3y$ , отдано $3x$ , а в итоге золотых нет: $3y = 3x$ .
Найдите $x$ и $y$ из системы, затем изменение серебра: получено $3x$ , отдано $4y$ .

Решение

Пусть первая операция выполнена $x$ раз, вторая — $y$ раз. Тогда $x + y = 52$ и $3x = 3y$ , откуда $x = 26$ , $y = 26$ . Серебряных монет получено $3 \cdot 26 = 78$ , отдано $4 \cdot 26 = 104$ , их стало меньше на $104 - 78 = 26$ . Ответ: 26.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $0{,}4x = -34$ .

Подсказки

Чтобы найти неизвестный множитель, разделите произведение на известный множитель.
$x = -34 : 0{,}4$ .
Для удобства умножьте делимое и делитель на одно и то же число, чтобы избавиться от запятых.

Решение

$x = -34 : 0{,}4 = -85$ . Ответ: −85.

Решить в Telegram