Производная: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «производная» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 176 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 8: Производная и первообразная — 48 задач
ЕГЭ профиль, задание 12: Наибольшее и наименьшее — 112 задач
ЕГЭ база, задание 7: Графики и производная — 16 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \dfrac{5t^{2}}{2} - 5$ , где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени $t = 5$ с.

Подсказки

Скорость — производная координаты по времени: $v(t) = x'(t)$ .
Продифференцируйте: $(t^2)' = 2t$ , $(t)' = 1$ , производная константы равна нулю.
$v(t) = 5t$ . Подставьте $t = 5$ .

Решение

$v(t) = x'(t) = 5t$ . При $t = 5$ : $v(5) = 25$ м/с. Ответ: 25.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D. В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

Точки	Значения производной
A	1) $-0{,}2$
B	2) $0{,}2$
C	3) $-1{,}5$
D	4) $2$

В ответ запишите номера значений, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной: знак показывает, возрастает касательная или убывает, а модуль — насколько она крутая.
Среди значений два положительных ( $2$ — крутой подъём, $0{,}2$ — пологий) и два отрицательных ( $-1{,}5$ — крутой спуск, $-0{,}2$ — пологий).
В точке A касательная возрастает (производная положительна), наклон пологий; в точке B касательная убывает (производная отрицательна), наклон пологий.

Решение

A: касательная возрастает (производная положительна), наклон пологий — значение $0{,}2$ . B: касательная убывает (производная отрицательна), наклон пологий — значение $-0{,}2$ . C: касательная возрастает (производная положительна), наклон крутой — значение $2$ . D: касательная убывает (производная отрицательна), наклон пологий — значение $-1{,}5$ . Ответ: 2143.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Прямая $y = 18x - 9$ является касательной к графику функции $y = x^{3} + 8x^{2} - x + 1$ . Найдите абсциссу точки касания.

Подсказки

В точке касания значения производной и углового коэффициента прямой равны, и равны значения функции и прямой.
Из $y' = 3x^{2} + 16x - 1 = 18$ найдите кандидатов на абсциссу точки касания.
Для каждого корня проверьте, совпадают ли в нём значения функции и прямой.

Решение

$y' = 3x^{2} + 16x - 1$ . Уравнение $3x^{2} + 16x - 1 = 18$ даёт $x = 1$ или $x = -\dfrac{19}{3}$ . При $x = 1$ : $y = 9$ и $18x - 9 = 9$ — значения совпадают, а во второй точке не совпадают. Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите значение производной функции $f(x) = 2x^{3} + 4x^{2} - 5x - 10$ в точке $x_0 = 0$ .

Подсказки

Производная суммы равна сумме производных; $(x^n)' = nx^{n-1}$ , производная константы равна нулю.
Продифференцируйте почленно: $f'(x) = 6x^{2} + 8x - 5$ .
Подставьте $x_0 = 0$ в $f'(x)$ .

Решение

$f'(x) = 6x^{2} + 8x - 5$ . При $x = 0$ : $f'(0) = -5$ . Ответ: −5.

Решить в Telegram