Сложение и умножение вероятностей: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «сложение и умножение вероятностей» встречается в 2 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ОГЭ). В банке «Корень» — 125 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 5: Сложные события — 115 задач
ОГЭ, задание 10: Теория вероятностей — 10 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}048$ . В некотором городе из $2000$ проданных за год проигрывателей в гарантийную мастерскую поступило $110$ штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Подсказки

Частота события — отношение числа случаев, когда оно произошло, к числу всех испытаний.
Частота: $\dfrac{110}{2000} = 0{,}055$ .
Найдите $|0{,}055 - 0{,}048|$ .

Решение

Частота $\dfrac{110}{2000} = 0{,}055$ , она отличается от вероятности на $|0{,}055 - 0{,}048| = 0{,}007$ . Ответ: 0,007.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Если пациент болен анемией, то анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}9$ . Если пациент не болен анемией, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$ . Известно, что $10\%$ пациентов, поступающих с подозрением на это заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Подсказки

Положительный результат возможен в двух несовместных случаях: пациент болен или пациент здоров.
Больной пациент — с вероятностью $0{,}1$ , здоровый — $0{,}9$ .
$P = 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}02$ .

Решение

$P = 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}02 = 0{,}09 + 0{,}018 = 0{,}108$ . Ответ: 0,108.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $3$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, если в каждой игре вероятность выигрыша равна $0{,}4$ , а вероятность проигрыша равна $0{,}3$ .

Подсказки

Вероятность ничьей $1 - 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}3$ .
Переберите исходы двух игр (В — выигрыш, Н — ничья, П — проигрыш), дающие не меньше $3$ очков.
Подходят: ВВ, ВН, ВП, НВ, ПВ. Сложите вероятности этих исходов.

Решение

Вероятность ничьей $0{,}3$ . Подходят исходы ВВ, ВН, ВП, НВ, ПВ. $P = 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}64$ . Ответ: 0,64.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}043$ . В некотором городе из $1000$ проданных за год проигрывателей в гарантийную мастерскую поступило $32$ штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Подсказки

Частота события — отношение числа случаев, когда оно произошло, к числу всех испытаний.
Частота: $\dfrac{32}{1000} = 0{,}032$ .
Найдите $|0{,}032 - 0{,}043|$ .

Решение

Частота $\dfrac{32}{1000} = 0{,}032$ , она отличается от вероятности на $|0{,}032 - 0{,}043| = 0{,}011$ . Ответ: 0,011.

Решить в Telegram