Многоугольники: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «многоугольники» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 10 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 1: Планиметрия — 6 задач
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 3 задачи
ОГЭ, задание 16: Окружность — 1 задача

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

В выпуклом шестиугольнике пять углов равны $100^\circ$ , $147^\circ$ , $76^\circ$ , $144^\circ$ , $113^\circ$ . Найдите последний угол. Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Сумма углов выпуклого 6-угольника равна $180^\circ \cdot (6 - 2)$ .
Эта сумма равна $720^\circ$ .
Вычтите из неё сумму данных углов: $100 + 147 + 76 + 144 + 113$ .

Решение

Сумма углов выпуклого 6-угольника равна $180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$ . Сумма данных углов $100 + 147 + 76 + 144 + 113 = 580$ , поэтому последний угол равен $720 - 580 = 140$ градусов. Ответ: 140.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Сколько диагоналей у выпуклого 10-угольника?

Подсказки

Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних.
Из одной вершины выходит 7 диагонали, всего вершин — 10.
Каждая диагональ посчитана дважды (по одному разу от каждого конца) — разделите результат на 2.

Решение

Из каждой вершины выходит $10 - 3 = 7$ диагоналей. Всего $\dfrac{10 \cdot 7}{2} = 35$ (каждая посчитана дважды). Ответ: 35.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: базовая

Сумма углов выпуклого многоугольника равна $1260^\circ$ . Сколько у него сторон?

Подсказки

Из одной вершины выпуклого $n$ -угольника можно провести диагонали, разбивающие его на $n - 2$ треугольника.
Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$ .
Сумма углов равна $180^\circ \cdot (n - 2)$ ; найдите $n - 2$ .

Решение

Сумма углов $n$ -угольника равна $180^\circ(n - 2)$ . Из $180(n - 2) = 1260$ получаем $n - 2 = 7$ , $n = 9$ . Ответ: 9.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: средняя

Сколько диагоналей у выпуклого 6-угольника?

Подсказки

Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних.
Из одной вершины выходит 3 диагонали, всего вершин — 6.
Каждая диагональ посчитана дважды (по одному разу от каждого конца) — разделите результат на 2.

Решение

Из каждой вершины выходит $6 - 3 = 3$ диагоналей. Всего $\dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$ (каждая посчитана дважды). Ответ: 9.

Решить в Telegram