Вписанные и центральные углы: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «вписанные и центральные углы» встречается в 6 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 60 задач по этой теме.

Где встречается

сложность: базовая

Вписанный угол $ACB$ равен $70^\circ$ . Найдите центральный угол $AOB$ , опирающийся на ту же дугу $AB$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Решение

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$ . Ответ: 140.

сложность: средняя

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $20^\circ$ , угол $CAD$ равен $40^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол $CAD$ равен углу $CBD$ (обе дуги — $CD$ ).
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$ .
Сложите углы $ABD$ и $DBC$ .

Решение

$\angle DBC = \angle DAC = 40^\circ$ (опираются на дугу $DC$ ), поэтому $\angle ABC = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$ . Ответ: 60.

сложность: повышенная

Хорда $AB$ окружности равна $13$ и стягивает вписанный угол $ACB$ , равный $30^\circ$ ( $C$ лежит на окружности). Найдите радиус окружности.

Подсказки

Хорда, стягивающая вписанный угол $\alpha$ , равна $2R\sin\alpha$ (теорема синусов).
$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ .
Из равенства $AB = 2R \sin 30^\circ$ выразите $R$ .

Решение

$AB = 2R \sin 30^\circ$ , откуда $R = \dfrac{13}{2 \sin 30^\circ} = 13$ . Ответ: 13.

сложность: базовая

Вписанный угол $ACB$ равен $80^\circ$ . Найдите центральный угол $AOB$ , опирающийся на ту же дугу $AB$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Решение

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$ . Ответ: 160.