Обратная пропорциональность: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «обратная пропорциональность» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ОГЭ). В банке «Корень» — 61 задача по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 19 задач
ОГЭ, задание 11: Графики функций — 38 задач
ОГЭ, задание 22: Графики — 4 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x} + a$ . Найдите $k$ .

Подсказки

Найдите $a$ по горизонтальной асимптоте (пунктир).
$a = 0$ . Подставьте в $f(x) = \dfrac{k}{x} + 0$ отмеченную точку $(1;\ -3)$ .
$\dfrac{k}{1} = -3$ . Найдите $k$ .

Решение

Асимптота $y = 0$ , значит, $a = 0$ . Точка $(1;\ -3)$ : $\dfrac{k}{1} + 0 = -3$ , откуда $k = -3$ . Ответ: -3.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x} + a$ . Найдите, при каком значении $x$ значение функции равно $-7$ .

Подсказки

Найдите $a$ по асимптоте (пунктир) и $k$ по отмеченной точке.
$a = -1$ , $k = 3$ .
Решите уравнение $\dfrac{3}{x} - 1 = -7$ .

Решение

Горизонтальная асимптота графика $y = -1$ , значит, $a = -1$ . Точка $(-1;\ -4)$ даёт $\dfrac{k}{-1} = -3$ , $k = 3$ : $f(x) = \dfrac{3}{x} - 1$ . Из $\dfrac{3}{x} - 1 = -7$ : $\dfrac{3}{x} = -6$ , $x = -0{,}5$ . Ответ: −0,5.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x} + a$ . Найдите $a$ .

Подсказки

При больших по модулю $x$ дробь $\dfrac{k}{x}$ почти равна нулю, и график приближается к прямой $y = a$ .
Найдите по рисунку горизонтальную асимптоту — пунктирную прямую.
Ордината этой прямой и есть $a$ .

Решение

Горизонтальная асимптота графика (пунктир) — прямая $y = 2$ , поэтому $a = 2$ . Ответ: 2.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x} + a$ . Найдите $f(-20)$ .

Подсказки

При больших $|x|$ график приближается к прямой $y = a$ (пунктир) — так находится $a$ . Затем подставьте отмеченную точку.
$a = -3$ . Подставьте точку $(-2;\ -4)$ в $f(x) = \dfrac{k}{x} - 3$ .
$k = 2$ . Вычислите $f(-20)$ .

Решение

Горизонтальная асимптота графика $y = -3$ , значит, $a = -3$ . Точка $(-2;\ -4)$ даёт $\dfrac{k}{-2} = -1$ , $k = 2$ : $f(x) = \dfrac{2}{x} - 3$ . $f(-20) = \dfrac{2}{-20} - 3 = -3{,}1$ . Ответ: −3,1.

Решить в Telegram