Задание 5 ОГЭ по математике: практическая задача

ОГЭ по математике · задание 5 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 110 задач этого номера: практические задачи, площади фигур, проценты.

Формулы к заданию 5

Единицы измерения

$1\ \text{км}=1000\ \text{м},\quad 1\ \text{м}=100\ \text{см}=1000\ \text{мм}$ — длина
$1\ \text{м}^2=10\,000\ \text{см}^2,\quad 1\ \text{км}^2=1\,000\,000\ \text{м}^2$ — площадь
$1\ \text{а}=100\ \text{м}^2,\quad 1\ \text{га}=10\,000\ \text{м}^2$ — ар (сотка) и гектар
$1\ \text{м}^3=1000\ \text{л},\quad 1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3=1000\ \text{мл}$ — объём и вместимость
$1\ \text{т}=1000\ \text{кг},\quad 1\ \text{ц}=100\ \text{кг},\quad 1\ \text{кг}=1000\ \text{г}$ — масса

Масштаб, участки и размеры

$\text{масштаб }1:k$ — $1$ единица на плане равна $k$ таких же единиц на местности
$L_{\text{реал}}=L_{\text{план}}\cdot k$ — реальная длина по длине на плане
$L_{\text{план}}=\dfrac{L_{\text{реал}}}{k}$ — длина на плане по реальной
$S_{\text{реал}}=S_{\text{план}}\cdot k^2$ — площади связаны квадратом масштаба
$V_{\text{реал}}=V_{\text{модель}}\cdot k^3$ — объёмы связаны кубом масштаба

Тарифы, расход и проценты в быту

$C=n\cdot c$ — стоимость $n$ единиц товара по цене $c$
$c=\dfrac{C}{n}$ — цена единицы товара; так сравнивают разные упаковки
$C=a+b\cdot t$ — тариф с абонентской платой $a$ и ценой $b$ за единицу $t$ (минуту, мегабайт)
$C=a+b\cdot\max(0,\ t-t_0)$ — в тариф входит пакет $t_0$ , плата только за превышение
$W=P\cdot t$ — энергия в кВт·ч: мощность в кВт, умноженная на время в часах; стоимость $=W\cdot\text{тариф}$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: средняя

На плане изображён дачный участок; сторона каждой клетки равна 2 м. Цифрами обозначены: 1 — сарай, 2 — теплица, 3 — беседка, 4 — баня, 5 — гараж, 6 — жилой дом. Въезд — через ворота в нижней части ограды, сразу за воротами — площадка, вымощенная тротуарной плиткой (на плане выделена).

Хозяин участка планирует установить в бане печь. Высота бани 2,2 м, длину и ширину найдите по плану. Подходят только печи, рассчитанные на объём помещения не меньше объёма бани. Характеристики печей приведены в таблице.

Печь	Тип	Объём помещения, м³	Масса, кг	Стоимость, руб.
А	дровяная	до 46	35	26 000
Б	электрическая	до 58	27	28 000
В	дровяная	до 62	47	35 000

Доставка дровяной печи стоит 1750 руб. Для электрической печи нужно провести кабель, это обойдётся в 3000 руб. (доставка электрической печи бесплатна). Сколько рублей будет стоить самый дешёвый подходящий вариант с учётом этих расходов?

Подсказки

Сначала найдите объём бани, затем отберите подходящие печи и сравните их полную стоимость.
Баня (цифра 4) — 2×3 клеток, т. е. 4×6 м; объём $4 \cdot 6 \cdot 2{,}2 = 52{,}8$ м³.
Подходят печи Б и В. Прибавьте к цене каждой расходы на кабель или доставку и выберите меньшее.

Решение

Объём бани $4 \cdot 6 \cdot 2{,}2 = 52{,}8$ м³, поэтому подходят печи Б и В. Печь Б (электрическая): $28000 + 3000 = 31000$ руб. Печь В (дровяная): $35000 + 1750 = 36750$ руб. Дешевле обойдётся вариант за 31 000 руб. Ответ: 31000.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

На плане изображена квартира; сторона каждой клетки равна 0,5 м. Цифрами обозначены: 1 — балкон, 2 — кухня, 3 — прихожая, 4 — спальня, 5 — санузел, 6 — гостиная, 7 — кладовая. Вход в квартиру отмечен стрелкой.

Пол балкона (на плане — цифра 1) решили выложить плиткой. Число плиток определяйте делением площади пола на площадь одной плитки с округлением вверх. Варианты плитки приведены в таблице.

Вариант	Размер плитки, см	Штук в упаковке	Цена упаковки, руб.
А	50×50	12	300
Б	50×50	20	700

Упаковки продаются целиком. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый вариант?

Подсказки

Для каждого варианта найдите число плиток, число упаковок (округляя вверх) и стоимость.
Балкон — 8×2 клеток, т. е. 4×1 м; площадь $4$ м².
Число плиток — площадь пола, делённая на площадь одной плитки (с округлением вверх). Затем разделите на число штук в упаковке, округлите вверх и умножьте на цену.

Решение

Вариант А: плиток 16, упаковок 2, стоимость $2 \cdot 300 = 600$ руб. Вариант Б: плиток 16, упаковок 1, стоимость $1 \cdot 700 = 700$ руб. Наименьшая стоимость — 600 руб. Ответ: 600.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

Мобильный оператор предлагает тарифы, условия которых приведены в таблице. Абонентская плата включает пакет минут и интернета; сверх пакета услуги оплачиваются отдельно.

Тариф	Абонентская плата, руб./мес.	Минут в пакете	Интернет в пакете, ГБ	Минута сверх пакета, руб.	1 ГБ сверх пакета, руб.
«Лёгкий»	370	100	10	2	60
«Средний»	550	300	25	2,5	30
«Безграничный»	880	800	60	1,5	20

Абонент планирует тратить в месяц 700 минут разговоров и 13 ГБ интернета. Он выбирает самый дешёвый для себя тариф. Сколько рублей в месяц он будет платить?

Подсказки

Для каждого тарифа сложите абонентскую плату и стоимость минут и гигабайтов сверх пакета.
Например, по тарифу «Лёгкий» сверх пакета придётся оплатить 600 мин и 3 ГБ.
Посчитайте месячную плату по всем трём тарифам и выберите наименьшую.

Решение

«Лёгкий»: $370 + 600 \cdot 2 + 3 \cdot 60 = 1750$ руб. «Средний»: $550 + 400 \cdot 2{,}5 = 1550$ руб. «Безграничный»: $880$ руб. Дешевле всего тариф «Безграничный». Ответ: 880.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

На плане изображён дачный участок; сторона каждой клетки равна 2 м. Цифрами обозначены: 1 — гараж, 2 — баня, 3 — жилой дом, 4 — теплица, 5 — беседка, 6 — сарай. Въезд — через ворота в нижней части ограды, сразу за воротами — площадка, вымощенная тротуарной плиткой (на плане выделена).

Всю свободную от построек и площадки часть участка засевают газоном. Мешка семян хватает на 40 м², мешок стоит 1200 руб. Сколько рублей придётся заплатить за семена?

Подсказки

Найдите площадь свободной части: из площади участка вычтите площади построек и площадки (в клетках).
Участок — 192 клеток, постройки и площадка — 58 клеток; площадь клетки 4 м².
Свободная площадь 536 м². Разделите на 40, округлите вверх и умножьте на 1200.

Решение

Свободно $192 - 58 = 134$ клеток, т. е. $134 \cdot 4 = 536$ м². Мешков нужно 14 (округляем вверх), стоимость $14 \cdot 1200 = 16800$ руб. Ответ: 16800.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

На плане изображена квартира; сторона каждой клетки равна 0,5 м. Цифрами обозначены: 1 — кухня, 2 — спальня, 3 — санузел, 4 — балкон, 5 — прихожая, 6 — кладовая, 7 — гостиная. Вход в квартиру отмечен стрелкой.

Пол в спальне и в гостиной решили покрыть одним материалом. Цены на материалы и укладку приведены в таблице.

Покрытие	Цена материала, руб. за 1 м²	Укладка, руб. за 1 м²
Ламинат	500	350
Паркетная доска	1150	350
Линолеум	950	500

Сколько рублей будет стоить самый дешёвый вариант (материал и укладка)?

Подсказки

Найдите общую площадь пола двух помещений, затем стоимость 1 м² с укладкой для каждого покрытия.
Помещения 2 и 7 занимают вместе 75 клеток по 0,25 м², т. е. 18,75 м².
1 м² с укладкой: ламинат — 850 руб., паркетная доска — 1500 руб., линолеум — 1450 руб. Умножьте наименьшую цену на площадь.

Решение

Площадь пола: $75 \cdot 0{,}25 = 18{,}75$ м². Стоимость 1 м² с укладкой: ламинат — $500 + 350 = 850$ руб., паркетная доска — $1150 + 350 = 1500$ руб., линолеум — $950 + 500 = 1450$ руб. Дешевле всего $18{,}75 \cdot 850 = 15937{,}5$ руб. Ответ: 15937,5.

Решить в Telegram