Цилиндр, конус, шар: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «цилиндр, конус, шар» встречается в 4 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 91 задача по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 3: Стереометрия — 40 задач
ЕГЭ профиль, задание 14: Стереометрия — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 11: Практическая стереометрия — 17 задач
ЕГЭ база, задание 13: Стереометрия — 31 задача

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Бак имеет форму цилиндра с радиусом основания $50$ см и высотой $70$ см. Найдите объём бака в кубических сантиметрах. В ответе укажите объём, делённый на $\pi$ .

Подсказки

Объём цилиндра $V = \pi r^2 h$ , значит $\dfrac{V}{\pi} = r^2 h$ .
$r^2 = 2500$ .
Умножьте $2500$ на $70$ .

Решение

$\dfrac{V}{\pi} = r^2 h = 2500 \cdot 70 = 175\,000$ . Ответ: 175000.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

В сосуде, имеющем форму цилиндра, уровень воды достигает $8$ см. Воду перелили во второй сосуд такой же формы, диаметр основания которого в $4$ раза меньше, чем у первого. На какой высоте будет находиться уровень воды во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Подсказки

Объём воды не меняется: $\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$ .
Радиус второго сосуда в $4$ раза меньше, площадь основания — в $16$ раз меньше.
Высота воды изменится во столько же раз, во сколько изменилась площадь дна, но в обратную сторону.

Решение

Площадь основания второго сосуда в $4^2 = 16$ раз меньше, объём воды тот же, поэтому уровень в $16$ раз выше: $8 \cdot 16 = 128$ см. Ответ: 128.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $30$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Подсказки

Жидкость заполняет конус, подобный сосуду (вершина у них общая).
Коэффициент подобия $\dfrac{1}{3}$ , поэтому объём сосуда в $3^3 = 27$ раз больше объёма жидкости.
Долить нужно $27 \cdot 30 - 30$ мл.

Решение

Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом $\dfrac{1}{3}$ , поэтому объём сосуда $27 \cdot 30 = 810$ мл. Долить нужно $810 - 30 = 780$ мл. Ответ: 780.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Цистерна имеет форму цилиндра: радиус основания $1{,}5$ м, высота $6$ м. Сколько кубических метров воды вмещает цистерна? Число $\pi$ считайте равным $3{,}14$ .

Подсказки

Объём цилиндра $V = \pi r^2 h$ .
Подставьте $r = 1{,}5$ , $h = 6$ .
$V = 3{,}14 \cdot 1{,}5^2 \cdot 6 = 3{,}14 \cdot 13{,}5$ .

Решение

$V = \pi r^2 h = 3{,}14 \cdot 2{,}25 \cdot 6 = 42{,}39$ м³. Ответ: 42,39.

Решить в Telegram