Призмы и параллелепипеды: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «призмы и параллелепипеды» встречается в 4 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 179 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 3: Стереометрия — 55 задач
ЕГЭ профиль, задание 14: Стереометрия — 7 задач
ЕГЭ база, задание 11: Практическая стереометрия — 73 задачи
ЕГЭ база, задание 13: Стереометрия — 44 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $12 \times 24 \times 24$ см. Сколько кубиков с ребром $6$ см можно уложить в эту коробку?

Подсказки

Посчитайте, сколько кубиков уложится вдоль каждого ребра коробки.
Вдоль ребра $12$ см помещается $12 : 6$ кубиков; так же для двух других рёбер.
Вдоль рёбер укладывается $2$ , $4$ и $4$ кубиков — осталось перемножить.

Решение

Размеры коробки делятся на ребро кубика: $12 : 6 = 2$ , $24 : 6 = 4$ , $24 : 6 = 4$ . Кубики заполняют коробку без пустот, их $2 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ (столько же даёт отношение объёмов $6912 : 216$ ). Ответ: 32.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной $50$ м, шириной $4$ м и глубиной $2{,}3$ м. Бассейн наполняют водой так, что её уровень на $0{,}3$ м ниже края. Сколько кубических метров воды потребуется?

Подсказки

Объём воды в бассейне — объём прямоугольного параллелепипеда.
Высота слоя воды $2{,}3 - 0{,}3 = 2$ м.
Перемножьте длину, ширину и высоту слоя воды: $50 \cdot 4 \cdot 2$ .

Решение

Высота слоя воды $2{,}3 - 0{,}3 = 2$ м. $V = 50 \cdot 4 \cdot 2 = 400$ м³. Ответ: 400.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого $AB = 3$ , $AD = 12$ , $AA_1 = 8$ .

Подсказки

Изобразите многогранник на рисунке параллелепипеда и определите его вид.
Многогранник — пирамида, основание которой — прямоугольный треугольник, а высота — ребро параллелепипеда.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, объём призмы — произведению площади основания на высоту.

Решение

Пирамида с основанием — прямоугольным треугольником (площадь $\dfrac{3 \cdot 12}{2}$ , если лежит в грани $3 \times 12$ ) и высотой, равной третьему ребру: $V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 12 \cdot 8 = 48$ . Ответ: 48.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её длину увеличили в $4$ раза, ширину — в $4$ раза, а высоту уменьшили в $5$ раз. Во сколько раз увеличился объём коробки?

Подсказки

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты.
Новый объём: $4a \cdot 4b \cdot \dfrac{c}{5}$ .
Объём умножается на $\dfrac{4 \cdot 4}{5}$ .

Решение

$V' = 4a \cdot 4b \cdot \dfrac{c}{5} = \dfrac{16}{5}\,abc = 3{,}2V$ , объём увеличился в $3{,}2$ раза. Ответ: 3,2.

Решить в Telegram