Фигуры на клетчатой бумаге: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «фигуры на клетчатой бумаге» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 199 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 1: Планиметрия — 4 задачи
ЕГЭ база, задание 9: Фигуры на клетчатой бумаге — 85 задач
ОГЭ, задание 18: Фигуры на клетках — 110 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

Подсказки

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Одна сторона идёт по линии сетки; её длина — 7 клеток.
Высота к этой стороне — расстояние от противоположной вершины до линии стороны: 2 клеток.

Решение

Сторона по линии сетки равна $7$ , высота к ней равна $2$ . $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 = 7$ . Ответ: 7.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол $AOB$ . Найдите тангенс этого угла.

Подсказки

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Опустите перпендикуляр из точки $B$ на прямую $OA$ — получится прямоугольный треугольник с катетами по линиям сетки.
Противолежащий катет — 4, прилежащий — 1 клеток.

Решение

В прямоугольном треугольнике с вершиной $O$ противолежащий катет равен $4$ , прилежащий — $1$ . $\operatorname{tg} \angle AOB = \dfrac{4}{1} = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Найдите радиус вписанной в него окружности.

Подсказки

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ ( $a$ , $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза).
Стороны треугольника — по клеткам: катеты идут по линиям сетки, гипотенузу найдите по теореме Пифагора.
Катеты $4$ и $3$ , гипотенуза $5$ .

Решение

$AB = 5$ . $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{4 + 3 - 5}{2} = 1$ . Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите его площадь.

Подсказки

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Диагонали идут по линиям сетки: 4 и 6 клеток.
$S = \dfrac{4 \cdot 6}{2}$ .

Решение

Диагонали равны $4$ и $6$ , $S = \dfrac{4 \cdot 6}{2} = 12$ . Ответ: 12.

Решить в Telegram