Производная по графику: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «производная по графику» встречается в 2 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 157 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 8: Производная и первообразная — 72 задачи
ЕГЭ база, задание 7: Графики и производная — 85 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и отмечены точки A, B, C и D на оси $Ox$ . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

Точки	Характеристики
A	1) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно
B	2) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
C	3) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
D	4) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Знак значения функции видно по тому, выше или ниже оси $Ox$ проходит график; знак производной — по тому, возрастает функция в точке или убывает.
В точке A график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна).
В точке B график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна); в точке C график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна); в точке D график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна).

Решение

A: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 1. B: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 4. C: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 3. D: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 2. Ответ: 1432.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной на этом интервале.

Интервалы	Характеристики
А) $(-3;\ -1)$	1) функция убывает на интервале
Б) $(-1;\ 0)$	2) функция принимает только отрицательные значения на интервале
В) $(0;\ 2)$	3) функция принимает только положительные значения на интервале
Г) $(2;\ 4)$	4) функция возрастает на интервале

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих интервалам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Для каждого интервала выясните по графику: лежит ли график на нём целиком выше или ниже оси $Ox$ , и возрастает или убывает функция на всём интервале.
На интервале $(-3;\ -1)$ график выше оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума; на интервале $(-1;\ 0)$ график пересекает ось $Ox$ , функция убывает.
На интервале $(0;\ 2)$ график ниже оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума; на интервале $(2;\ 4)$ график ниже оси $Ox$ , функция возрастает. Учтите, что каждой характеристике соответствует ровно один интервал.

Решение

А) $(-3;\ -1)$ : график выше оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума — характеристика 3. Б) $(-1;\ 0)$ : график пересекает ось $Ox$ , функция убывает — характеристика 1. В) $(0;\ 2)$ : график ниже оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума — характеристика 2. Г) $(2;\ 4)$ : график ниже оси $Ox$ , функция возрастает — характеристика 4. Ответ: 3124.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-3;\ 8)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y = 8$ или совпадает с ней.

Подсказки

Угловой коэффициент касательной равен $f'(x_0)$ , а у прямой $y = 8$ он равен $0$ . Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
Нужно найти количество решений уравнения $f'(x) = 0$ — точек пересечения графика $y = f'(x)$ с прямой $y = 0$ .
Посчитайте все общие точки графика производной с осью абсцисс — и пересечения, и касания.

Решение

Касательная параллельна прямой $y = 8$ (или совпадает с ней), если её угловой коэффициент равен $0$ , то есть $f'(x_0) = 0$ . График производной имеет с осью абсцисс общие точки $-1$ , $1$ , $4$ и $6$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Точки	Характеристики
A	1) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
B	2) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
C	3) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
D	4) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Знак значения функции видно по тому, выше или ниже оси $Ox$ проходит график; знак производной — по тому, возрастает функция в точке или убывает.
В точке A график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна).
В точке B график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна); в точке C график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна); в точке D график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна).

Решение

A: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 4. B: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 3. C: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 2. D: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 1. Ответ: 4321.

Решить в Telegram