Векторы: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «векторы» встречается в 1 задании экзаменов (ЕГЭ профиль). В банке «Корень» — 108 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 2: Векторы — 108 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Даны векторы $\vec{a}(-4;\,-1)$ и $\vec{b}(-4;\,8)$ . Найдите сумму координат вектора $3\vec{a} - \vec{b}$ .

Подсказки

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, при сложении векторов координаты складываются.
Найдите координаты вектора $3\vec{a} - \vec{b}$ покоординатно.
$3\vec{a} - \vec{b} = 3 \cdot (-4;\,-1) - (-4;\,8)$ .

Решение

$3\vec{a} - \vec{b} = 3 \cdot (-4;\,-1) - (-4;\,8) = (-8;\,-11)$ . Сумма координат: $-8 - 11 = -19$ . Ответ: −19.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $7\sqrt{3}$ и $10$ , а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Подсказки

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.
$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Решение

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 30^\circ = 7\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 105$ . Ответ: 105.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Даны векторы $\vec{a}(0;\,2)$ , $\vec{b}(2;\,2)$ и $\vec{c}(2;\,-2)$ . Известно, что $\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b}$ . Найдите $p + q$ .

Подсказки

Запишите равенство $\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b}$ покоординатно — получится система двух линейных уравнений.
$0p + 2q = 2$ , $2p + 2q = -2$ .
Решите систему (способом подстановки или сложения).

Решение

Покоординатно: $0p + 2q = 2$ , $2p + 2q = -2$ . Решая систему, получаем $p = -2$ , $q = 1$ . $p + q = -1$ . Ответ: -1.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Подсказки

Определите координаты векторов по рисунку: из координат конца вычтите координаты начала.
$\vec{a}(2;\,4)$ , $\vec{b}(1;\,-1)$ .
Скалярное произведение векторов $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2$ .

Решение

По рисунку $\vec{a}(2;\,4)$ , $\vec{b}(1;\,-1)$ . $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = -2$ . Ответ: −2.

Решить в Telegram