Пирамиды: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «пирамиды» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 43 задачи по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 3: Стереометрия — 22 задачи
ЕГЭ профиль, задание 14: Стереометрия — 6 задач
ЕГЭ база, задание 13: Стереометрия — 15 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $9$ , а её высота равна $12$ . Найдите объём пирамиды.

Подсказки

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
Основание — квадрат, его площадь $9^2 = 81$ .
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 81 \cdot 12$ .

Решение

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 9^2 \cdot 12 = \dfrac{972}{3} = 324$ . Ответ: 324.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Объём четырёхугольной пирамиды равен $32$ . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём отсечённой от неё пирамиды с той же вершиной.

Подсказки

Плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, подобную данной.
Коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{2}$ (отношение высот).
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.

Решение

Отсечённая пирамида подобна исходной с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$ , её объём в $2^3 = 8$ раз меньше: $\dfrac{32}{8} = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого $AB = 3$ , $AD = 12$ , $AA_1 = 8$ .

Подсказки

Изобразите многогранник на рисунке параллелепипеда и определите его вид.
Многогранник — пирамида, основание которой — прямоугольный треугольник, а высота — ребро параллелепипеда.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, объём призмы — произведению площади основания на высоту.

Решение

Пирамида с основанием — прямоугольным треугольником (площадь $\dfrac{3 \cdot 12}{2}$ , если лежит в грани $3 \times 12$ ) и высотой, равной третьему ребру: $V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 12 \cdot 8 = 48$ . Ответ: 48.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $7$ , а её высота равна $12$ . Найдите объём пирамиды.

Подсказки

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
Основание — квадрат, его площадь $7^2 = 49$ .
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 49 \cdot 12$ .

Решение

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 7^2 \cdot 12 = \dfrac{588}{3} = 196$ . Ответ: 196.

Решить в Telegram