Иррациональные уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «иррациональные уравнения» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 31 задача по этой теме.

Где встречается

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\sqrt{-x - 14} = 9$ .

Подсказки

Обе части уравнения неотрицательны — их можно возвести в квадрат.
После возведения в квадрат: $-x - 14 = 81$ .
Выразите $x$ из линейного уравнения и проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.

Решение

Возведём в квадрат: $-x - 14 = 81$ , $x = -95$ . Подкоренное выражение равно $81 \ge 0$ . Ответ: −95.

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $\sqrt{3x + 13} = \sqrt{2x + 13}$ .

Подсказки

Если квадратные корни равны, то равны и подкоренные выражения (если они неотрицательны).
Решите уравнение $3x + 13 = 2x + 13$ .
Проверьте, что при найденном $x$ подкоренные выражения неотрицательны.

Решение

$3x + 13 = 2x + 13$ , $1x = 0$ , $x = 0$ . Подкоренное выражение равно $13 \ge 0$ . Ответ: 0.

сложность: повышенная

Найдите корень уравнения $\sqrt{\dfrac{100}{x - 8}} = \dfrac{5}{7}$ .

Подсказки

Решение

$\dfrac{100}{x - 8} = \dfrac{25}{49}$ , $x - 8 = 100 \cdot 49 : 25 = 196$ , $x = 204$ . Ответ: 204.

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x - 13} = 8$ .

Подсказки

Обе части уравнения неотрицательны — их можно возвести в квадрат.
После возведения в квадрат: $5x - 13 = 64$ .
Выразите $x$ из линейного уравнения и проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.

Решение

Возведём в квадрат: $5x - 13 = 64$ , $x = 15{,}4$ . Подкоренное выражение равно $64 \ge 0$ . Ответ: 15,4.