Геометрические утверждения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «геометрические утверждения» встречается в 1 задании экзаменов (ОГЭ). В банке «Корень» — 110 задач по этой теме.

Где встречается

сложность: базовая

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ .
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Подсказки

Сверяйте каждое утверждение с определениями и теоремами; чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера.
Утверждение 1: рассмотрите тупоугольный треугольник. Оно неверно.
Утверждение 2: вспомните теорему о сумме углов треугольника. Утверждение 3: вспомните признаки равенства треугольников.

Решение

Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника. 2) Верно: это теорема о сумме углов треугольника. 3) Неверно: нужен ещё равный угол между сторонами: треугольники со сторонами $3, 4, 5$ и $3, 4, 6$ не равны. Ответ: 2.

сложность: средняя

Какие из следующих утверждений верны?

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов и в порядке возрастания.

Подсказки

Сверяйте каждое утверждение с определениями и теоремами; чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера.
Утверждение 1: когда около четырёхугольника можно описать окружность?. Оно неверно.
Утверждение 2: вспомните свойства диагоналей ромба. Утверждение 3: вспомните свойства средней линии трапеции.

Решение

Неверно: нужно, чтобы суммы противоположных углов были $180^\circ$ ; у параллелограмма с углом $60^\circ$ это не так. 2) Верно: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 3) Верно: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Ответ: 23.

сложность: базовая

Какое из следующих утверждений верно?

Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Диагонали прямоугольника равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Подсказки

Сверяйте каждое утверждение с определениями и теоремами; чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера.
Утверждение 1: сумма смежных углов равна $180^\circ$ . Оно неверно.
Утверждение 2: вспомните формулу площади треугольника. Утверждение 3: вспомните свойства диагоналей прямоугольника.

Решение

Неверно: смежный с острым углом угол тупой: например, $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ . 2) Неверно: площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту. 3) Верно: диагонали любого прямоугольника равны. Ответ: 3.

сложность: средняя

Какие из следующих утверждений верны?

Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны.
Треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $5$ является прямоугольным.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов и в порядке возрастания.

Подсказки

Сверяйте каждое утверждение с определениями и теоремами; чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера.
Утверждение 1: нарисуйте прямоугольник, не являющийся квадратом. Оно неверно.
Утверждение 2: проверьте, выполняется ли равенство из теоремы, обратной теореме Пифагора. Утверждение 3: вспомните признаки подобия треугольников.

Решение

Неверно: перпендикулярны диагонали только у прямоугольника-квадрата; у прямоугольника $1 \times 2$ они не перпендикулярны. 2) Верно: $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ , по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный. 3) Верно: это первый признак подобия треугольников. Ответ: 23.