Комбинаторика: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «комбинаторика» встречается в 1 задании экзаменов (ЕГЭ база). В банке «Корень» — 13 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ база, задание 21: Задача на смекалку — 13 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: средняя

Какое наименьшее число человек должно быть в группе, чтобы среди них наверняка нашлись хотя бы $3$ человека, родившихся в одном и том же времени года?

Подсказки

Рассмотрите самый неудачный случай: в каждой из $4$ «групп» человек как можно меньше, но не $3$ .
В таком случае в каждой «группе» ровно $2$ человека.
Добавьте ещё одного человека — он обязательно попадёт в «группу», где станет нужное число.

Решение

В худшем случае в каждой из $4$ групп по $2$ человек: всего $4 \cdot 2 = 8$ . Следующий человек даст $3$ в одной группе: $9$ . Ответ: 9.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Какое наименьшее число человек должно быть в группе, чтобы среди них наверняка нашлись хотя бы $5$ человек, родившихся в одном и том же месяце?

Подсказки

Рассмотрите самый неудачный случай: в каждой из $12$ «групп» человек как можно меньше, но не $5$ .
В таком случае в каждой «группе» ровно $4$ человека.
Добавьте ещё одного человека — он обязательно попадёт в «группу», где станет нужное число.

Решение

В худшем случае в каждой из $12$ групп по $4$ человек: всего $12 \cdot 4 = 48$ . Следующий человек даст $5$ в одной группе: $49$ . Ответ: 49.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

Какое наименьшее число человек должно быть в группе, чтобы среди них наверняка нашлись хотя бы $5$ человек, родившихся в одном и том же времени года?

Подсказки

Рассмотрите самый неудачный случай: в каждой из $4$ «групп» человек как можно меньше, но не $5$ .
В таком случае в каждой «группе» ровно $4$ человека.
Добавьте ещё одного человека — он обязательно попадёт в «группу», где станет нужное число.

Решение

В худшем случае в каждой из $4$ групп по $4$ человек: всего $4 \cdot 4 = 16$ . Следующий человек даст $5$ в одной группе: $17$ . Ответ: 17.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: средняя

На встрече $30$ друзей каждый пожал руку каждому из остальных ровно один раз. Сколько всего было рукопожатий?

Подсказки

Каждая пара участников образует ровно одно событие. Посчитайте число пар.
Каждый из $30$ участников взаимодействует с $29$ другими, но так каждая пара посчитана дважды.
Умножьте $n$ на $n - 1$ и разделите на два.

Решение

Каждая пара посчитана дважды, поэтому число рукопожатий равно $\dfrac{30 \cdot 29}{2} = 435$ . Ответ: 435.

Решить в Telegram