Первообразная: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «первообразная» встречается в 1 задании экзаменов (ЕГЭ профиль). В банке «Корень» — 19 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 8: Производная и первообразная — 19 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: средняя

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f(x)$ . Функция $F(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x - 7$ — одна из первообразных функции $f(x)$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Подсказки

Площадь фигуры под графиком неотрицательной функции на отрезке $[a;\ b]$ равна $F(b) - F(a)$ , где $F$ — любая первообразная.
Определите по рисунку границы закрашенной фигуры по оси абсцисс.
Фигура лежит над отрезком $[-1;\ 0]$ . Вычислите $F(0) - F(-1)$ .

Решение

Закрашенная фигура ограничена графиком $y = f(x) \ge 0$ , осью абсцисс и прямыми $x = -1$ , $x = 0$ . Её площадь $S = F(0) - F(-1) = -7 - (-8) = 1$ . Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ . Пользуясь рисунком, вычислите $F(3) - F(-6)$ , где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$ .

Подсказки

По формуле Ньютона — Лейбница $F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком со знаком: над осью «+», под осью «−».
Разбейте отрезок $[-6;\ 3]$ на участки между изломами графика и посчитайте площади трапеций (треугольников) по клеткам.
Изломы на отрезке: $-6$ , $-5$ , $-3$ , $0$ и $3$ . Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту; части под осью берите с минусом.

Решение

$F(3) - F(-6)$ равно площади под графиком $f$ на отрезке $[-6;\ 3]$ со знаком. По участкам между изломами: $-2{,}5 - 2 - 3 - 6 = -13{,}5$ . Ответ: −13,5.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f(x)$ . Функция $F(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 2x + 6$ — одна из первообразных функции $f(x)$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Подсказки

Площадь фигуры под графиком неотрицательной функции на отрезке $[a;\ b]$ равна $F(b) - F(a)$ , где $F$ — любая первообразная.
Определите по рисунку границы закрашенной фигуры по оси абсцисс.
Фигура лежит над отрезком $[1;\ 2]$ . Вычислите $F(2) - F(1)$ .

Решение

Закрашенная фигура ограничена графиком $y = f(x) \ge 0$ , осью абсцисс и прямыми $x = 1$ , $x = 2$ . Её площадь $S = F(2) - F(1) = 14 - 10 = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f(x)$ . Функция $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$ , причём $F(-6) = -7$ . Найдите $F(3)$ .

Подсказки

По формуле Ньютона — Лейбница $F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком со знаком: над осью «+», под осью «−».
Разбейте отрезок $[-6;\ 3]$ на участки между изломами графика и найдите площади трапеций (треугольников); участки под осью берите со знаком «−».
Тогда $F(3) = F(-6) + \int_{-6}^{3} f(x)\,dx$ .

Решение

$F(3) - F(-6) = \int_{-6}^{3} f(x)\,dx$ — площадь со знаком. По участкам между изломами: $-4{,}5 + 3 + 2{,}5 + 4 = 5$ . Значит, $F(3) = -7 + 5 = -2$ . Ответ: −2.

Решить в Telegram