Числа и их свойства: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «числа и их свойства» встречается в 2 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 97 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 19: Числа и их свойства — 12 задач
ЕГЭ база, задание 19: Числа и их свойства — 85 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите наименьшее двузначное число, сумма цифр которого равна $5$ и которое делится на $4$ .

Подсказки

Выпишите все двузначные числа с суммой цифр $5$ .
Из списка оставьте те, что делятся на $4$ (используйте признак делимости).
Выберите наименьшее из оставшихся чисел.

Решение

Числа с суммой цифр $5$ , делящиеся на $4$ : 32. Наименьшее — $32$ . Ответ: 32.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите наибольшее трёхзначное натуральное число, меньшее $800$ , которое при делении на $5$ и на $7$ даёт равные ненулевые остатки и сумма цифр которого равна $15$ .

Подсказки

Если остатки при делении на $5$ и на $7$ равны $r$ , то число $n - r$ делится и на $5$ , и на $7$ , то есть на $35$ .
Значит, $n = 35k + r$ , где $r \in \{1, 2, 3, 4\}$ (остаток ненулевой и меньше $5$ ). Выпишите такие числа меньше $800$ по порядку.
Для каждого выписанного числа проверьте условие: сумма цифр которого равна $15$ .

Решение

Равные остатки $r$ означают, что $n - r$ кратно $\text{НОК}(5, 7) = 35$ , где $r \in \{1, 2, 3, 4\}$ . Такие числа меньше $800$ по порядку: $774$ (сумма цифр $18$ ), $773$ (сумма цифр $17$ ), $772$ (сумма цифр $16$ ) — не подходят; $771 = 35 \cdot 22 + 1$ даёт остаток $1$ при делении на $5$ и на $7$ , и сумма цифр равна $15$ — подходит. Ответ: 771.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите наименьшее натуральное число, на которое нужно разделить число $392$ , чтобы получить квадрат натурального числа.

Подсказки

Квадрат натурального числа — это число, в разложении которого на простые множители все степени чётны.
Разложите число на простые множители: $392 = 2^3 \cdot 7^2$ .
Найдите, какой множитель стоит в нечётной степени, и уберите его.

Решение

$392 = 2^3 \cdot 7^2$ . Чтобы получить квадрат, нужно разделить на $2$ : получится $(14)^2$ . Ответ: 2.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите наибольший общий делитель чисел $21$ и $33$ .

Подсказки

Разложите оба числа на простые множители.
НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях.
Или примените алгоритм Евклида: заменяйте большее число остатком от деления на меньшее.

Решение

Алгоритмом Евклида находим $\text{НОД}(21, 33) = 3$ . Ответ: 3.

Решить в Telegram